循环小数的概念和举例(无限循环小数是什么概念?)

无限循环小数是什么概念？

无限循环小数的定义如下：

无限循环小数是数学中的一个概念，它是一类特殊的分数，小数部分呈现出循环重复的现象。无限循环小数的小数部分是无限循环的，也就是说，小数部分会像回文一样重复出现。例如，0.333...，0.212121...等等都是无限循环小数。

人教版五年级上册数学《循环小数》教案

　　《循环小数》教案(一)

　　教学目标

　　1知识与技能：

　　【1】使学生理解循环小数、有限小数、无限小数的意义。

　　【2】掌握循环小数的两种表示 *** 。

　　2过程与 *** ：

　　经历循环小数的认识过程,体验探究发现的学习 *** 。

　　3情感、态度与价值观：

　　让学生感受数学的美与乐趣，激发探究的欲望，初步渗透 *** 思想。

　　教学重难点

　　1 教学重点：

　　理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数的简便记法。

　　2 教学难点：

　　用循环小数表示除法算式的商。

　　教学工具

　　多媒体设备

　　教学过程

　　教学过程设计

　　1 引入

　　故事：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事，讲什么呢?从前有座山……

　　引出课题——循环小数

　　2 新知探究

　　(一)创设情境。

　　1.课件出示:

　　(1)学生描述场景信息，根据信息，你能列出什么算式呢?400÷75

　　(2)学生独立计算，指名板演。引导学生思考并回答：

　　①让学生通过实际计算，发现这道题无论除到小数点后面多少位，都除不尽。通过竖式计算，你发现了什么问题?(除不尽)

　　②这道题商的小数部分和余数有什么规律和特点?(商的小数部分不断的重复出现3，而余数重复不断的出现25)

　　③如果我们不断地除下去，它的商是多少?比如第5位是多少?第20位商是多少?第100位商是多少?(不管是哪一位，只要余数重复出现25，商就会重复出现3。)这样的除法算出的商应该表示为：400÷75=5.333……

　　总结特点：

　　(1)余数重复出现25。

　　(2)商的小数部分重复出现“3”。

　　(3)永远也除不完，商是无限的。

　　2、先计算，再说一说这些商的特点。

　　28÷18= 78.6÷11=

　　(1)先让学生独立列竖式计算。

　　(2)观察这道题，有什么相同点?(这两题的相同点是总也除不尽。)

　　这两道题的不同点是什么?(前一道题商中是一个数字“5”不断重复出现，而后一道题，商中二个数字”6 3”在依次不断重复出现。)

　　观察总结引出概念：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。像上面的5.333 ooo和7.14545 ooo都是循环小数。

　　3.自学内容：

　　一个循环小数的小数部分，依次重复出现的数字，叫做循环小数的循环节。例如：

　　5.333 ooo的循环节是3。

　　7.14545 ooo的循环节是45。

　　6.9258258 ooo的循环节是258。

　　写循环小数时，可以只写之一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如：

　　5.333 …写作5.3。

　　6.9258258…写作6.9258。

　　小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如,0.937。

　　小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。例如,0.2142857就是一个无限小数。

　　3 学以致用

　　(一)基础练习

　　1. 判断下列各数哪些是循环小数?哪些不是?

　　3.4666… (是) 2.35435 (不是)

　　1.4555 (不是) 0.24382438… (是)

　　2.58080 (不是) 0.44222… (是)

　　8.4747… (是)

　　2.填空：

　　64.2454545…

　　2.1313…

　　7.87

　　5.901436…

　　0.666…

　　9.3737

　　有限小数：7.87, 9.3737

　　无限小数：64.2454545…, 2.1313…, 5.901436…, 0.666…

　　循环小数：64.2454545…, 2.1313…0.666…

　　3.下列小数的循环节是什么?

　　3.4666… ( 6 )

　　0.2382438… (2438)

　　8.4747… ( 47 )

　　0.44222… ( 2 )

　　4. 用简便形式写出下面的循环小数。

　　5.写出下列循环小数的近似值：(保留三位小数)

　　6.判断。

　　(1)一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字重复出现，这样的小数叫循环小数。( √ )

　　(2)9.666是循环小数。( × )

　　(3)循环小数是无限小数。 ( √ )

　　(4)3232.32是有限小数，也是循环小数。 ( × )

　　(二)综合提升练习

　　7.用“四舍五入法”写出下表中各循环小数的近似数

　　8、比较下列小数的大小

　　9.如果用A 、B、 C 表示不同的三个数字，如：A.BBCBBCoooooo可以简写成什么数?这个小数的小数部分之一百位是什么?

　　100÷3=33oooooo1

　　所以这个小数的小数部分之一百位是B。

　　课后小结

　　一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

　　小数部分依次不断重复的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。

　　板书

　　一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。

　　小数部分依次不断重复的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。

　　《循环小数》教案(二)

　　教学目标

　　1.使学生能正确区分有限小数和无限小数。

　　2.初步认识循环小数，会用循环小数表示除法的商，能用简便 *** 表示循环小数

　　3.培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力

　　4.培养学生积极的数学情感。

　　教学重难点

　　重点是循环小数的意义。

　　难点是掌握循环小数的简便记法。

　　教学工具

　　课件

　　教学过程

　　一、创设情境，感受循环

　　1、故事引入。老和尚和小和尚讲故事。。。。。。

　　2、学生举循环的生活现象的例子：

　　你们发现生活中还有哪些循环的现象?(学生讨论后回答)

　　(感受循环)像这样依次不断重复出现的现象，我们把它称为“循环”(板书)。在实际生活中，也有很多循环的现象，如一年有四季：春、夏、秋、冬，每年都是按照这样的规律依次不断重复出现。

　　师：(概括)这样的重复不仅出现在生活中，我们的数学学习中也经常会出现这种有趣的循环现象，你们想知道吗?下面我们一起来看这样一个问题。

　　多媒体课件出示P27王鹏赛跑的情景图。引导学生观察图意后，列出算式：400÷75

　　教师：请同学们用竖式计算这个算式，并指名一人板演，教师巡视。

　　师：像这样继续除下去，能除完吗?(可能永远也除不完。)怎样表示这种永远也除不完的商?这种商有些什么特点?就是这节课我们要研究的问题，也就是我们要认识的新朋友——循环小数。(板书课题：循环小数)

　　二、认识循环小数

　　1、初步认识循环小数。

　　师：刚才我们在笔算过程中发现这个算式有二个特点：

　　①余数重复出现“25”;

　　②商的小数部分连续地重复出现“3”。为什么商的小数部分总是重复出现“3”，它和每次出现的余数有什么关系?(引导说出：当余数重复出现时，商就要重复出现;商是随余数重复出现才重复出现的。)

　　如果将400÷75继续除下去，猜一猜，商的小数部分第10位数字是几?第100位数字呢?(学生回答)

　　师：那么我们怎样表示400÷75的商呢?(教师引导学生说出：可以用省略号来表示永远除不尽的商。教师随着学生的回答板书：400÷75=5.333…，教师板书后加以说明：写这样的商一般要把重复出现的数字至少写两组再写省略号。)

　　师：我们所说的重复也叫作循环，像5.333…这样小数部分有一个数字依次不断地重复出现的小数，就叫做循环小数。

　　2、进一步认识循环小数。

　　师：下面我们继续来研究循环小数，请同学们用竖式计算：28÷18= 78.6÷11=

　　(让学生独立计算，教师巡视。)

　　订正时教师引导学生比较5.333…和1.555…，7.14545…

　　师：你们觉得这三个循环小数有什么不同?(课件出示: 5.333…商的小数部分从之一位起一个数字依次不断地重复出现; 1.555…商的小数部分从之一位起一个数字依次不断地重复出现; 7.14545…商的小数部分从第二位起二个数字依次不断地重复出现。)

　　师提问：你们觉得像这样的算式除到哪一位就可以不除了?(引导学生说出：只要余数重复了，就可以不除了。因为像这样的算式余数循环，商也会跟着循环。)

　　师小结：你们说对了!像5.333…和7.14545…1.555…，这样的小数都是循环小数。你们能像这样写出几个循环小数吗?(请大家在1分钟内写出几个循环小数，看谁写得又对又多!)

　　讨论：究竟什么样的数就叫循环小数呢?(让学生尝试归纳什么叫循环小数，指名请几个学生说说，然后让学生打开课本第28页看看书上是怎么说的。学生齐读概念。学生读完概念后，教师在展示台上重点解释“循环小数”中的关键词。)

　　3、分析比较：判断下列各数哪些是循环小数，哪些不是。

　　3.4666…( )2.354354( )1.4555( )

　　0.24382438…( )0.44222…( )

　　4、继续探索：依次不断重复出现的数字是?

　　3.4666…( )0.24382438…( )0.44222…( )

　　小结：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。

　　师：请同学们认真阅读课本第28页的“你知道吗?”，然后回答，你了解到了什么?你能结合一个循环小数给大家讲讲吗?(指名学生回答，集体交流)

　　教师结合具体的循环小数强调循环节的简便写法：写循环数的时候，为了简便，小数的循环部分只写出之一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各写上一个圆点。

　　如：5.333… 写作：5.3， 读作：五点三，三循环

　　1.555… 写作：1.5,,读作：一点五，五循环

　　7.14545… 写作：7.145， 读作：七点一四五，四五循环

　　5、建立有限小数和无限小数的概念

　　大家想一想，两数两除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况?

　　请大家计算：15÷16= 1.5÷7=

　　结合学生的交流，老师引导学生归纳，像0.9375这样的小数，小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数;像5.333…这样的小数，小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。(让学生开火车举例说说有限小数和无限小数，各举一个)

　　6、辨一辨：所有的循环小数都是无限小数吗?

　　三、应用知识，解决问题：

　　1、写一写：根据循环小数的一般写法，写出它的简便写法;或者根据它的简便写法，写出它的一般写法。

　　7.307= 3.1435= 2.0505 3.143535…=

　　2、判断题：

　　(1)0.7777是循环小数。( )

　　(2)1.3>1.333 ( )

　　(3)2.07=2.07 ( )

　　(4)13.243243…可写作13.24。 ( )

　　3、比较大小。

　　四、全课总结：通过今天的学习你有哪些收获?(教师结合板书进行小结)

　　五、布置作业：

　　1、课堂作业：练习五第1、4题。

　　2、课外作业：练习五第2、3、5、6题。

下面分享相关内容的知识扩展：

纯循环小数不一定小于1．

纯循环小数不一定小于1．
Y,正确:错误
分析：根据纯小数和纯循环小数的概念：整数部分是零的小数，称为纯小数，纯小数一定小于1；循环节从小数部分之一位开始的循环小数，称为纯循环小数，例如0.333…，1.4444…，所以纯循环小数不一定小于1；据此判断即可．解答：解：由分析知：纯循环小数不一定小于1，说法正确，
故答案为：正确．

20.5÷15商是循环小数的用简便形式表示

20.5÷15商是循环小数的用简便形式表示是1.366。

求数学帝解释：0.999...无限循环小数和π。

看到很多网上的帖子说，任何循环小数都是可以转化为分数，例如=.333循环可以转化为1/3，但是0.999无限循环小数不能转化为分数，因为0.999循环无限接近1，于是0.999循环＝1。 还有种 *** ：A＝0.999循环，则10A＝9.999循环，10A－A＝9，则A＝1。 我相信0.999循环等于1，因为无限循环是不存在的，那么作为无限不循环小数π，究竟是什么概念，π不能够被转化为分数，但它又不会象0.999循环那样无限接近等于一个整数，π到底是个什么玩意啊，我完全凌乱了，本人学历不高，求通俗解释。
0.99999.............等等这类循环的小数是有规律可循的，既然有规律一定能转换成小数的形式。
像是π，无限不循环，无任何规律可循，称为无理数，不能用分数来表示。
无理数都不能用分数来表示，也都没有什么规律。这样的不会无限接近一个数。
像是根号下2，根号下3 都是无理数。
最简跟式都是无理数，小数部分循环起来无规律。